Aukštinė (trikampis)

Jei trikampio plotas yra S, o vienos iš jo kraštinių ilgis yra a, tada į šią kraštinę nubrėžtos aukštinės ilgis yra lygus:

${\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}}.}$

Jei a, b ir c yra trikampio kraštinių ilgiai, tai į šias kraštines nubrėžtų aukštinių ilgiams galioja šie santykiai:

${\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab.}$

Jei lygiašonio trikampio pagrindo ilgis yra c, o kraštinės ilgis yra a, tai iš Pitagoro teoremos h _c² + (c /2) ² = a ² išplaukia, kad aukštinės, nubrėžtos prie pagrindo, ilgis yra:

${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}.}$

Jei trikampis yra lygiakraštis ir visų jo kraštinių ilgis lygus a, tai bet kuri aukštinė apskaičiuojama taip:

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.}$

Stačiojo trikampio aukštinė h, nubrėžta nuo stačiojo kampo viršūnės iki įžambinės c, padalija trikampį į du panašius trikampius. Jei ši aukštinė padalija įžambinę į n ir m ilgio segmentus (kur atkarpa n yra arčiau kraštinės a, o m yra arčiau kraštinės b), tada c / a = a / n ir c / b = b / m. Šį ryšį taip pat galima perrašyti į a ² = cn ir b ² = cm . Įterpiant jį į Pitagoro teoremą a ² + b ² = (n + m) ², gaunasi

${\displaystyle h^{2}=nm.\,}$

Kadangi stačiojo trikampio plotą galima apskaičiuoti kaip S = hc /2, arba kaip S = ab /2, tada

${\displaystyle h=ab/c.\,}$