Keplerio dėsniai

Pirmasis Keplerio dėsnis: kiekviena planeta skrieja aplink Saulę elipse, kurios viename židinyje yra Saulė.

Elipsė yra figūra, primenanti ištemptą apskritimą. Svarbu atkreipti dėmesį, kad Saulė yra ne elipsės centre, o viename iš jos židinių. Kitas elipsės židinys fizikinės prasmės neturi.

Kiek daug elipsė yra ištempta, apibūdina fizikinis dydis, vadinamas ekscentricitetu, kuris gali įgyti reikšmes nuo 0 (apskritimas) iki 1 (parabolė). Matematiškai, elipsę labai patogu aprašyti naudojantis poline koordinačių sistema:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$

kur (r, θ) yra elipsės cilidrinės koordinatės, jos židinį laikant atskaitos tašku, p yra pusė atkarpos, jungiančios elipsės taškus, einančios per elipsės židinį (šiuo atveju – Saulę), ir statmenos elipsės ilgajam pusašiui, o ε yra elipsės ekscentricitetas. Planetai, skriejančiai apie Saulę, r yra jos atstumas iki Saulės, o θ yra kampas tarp planetos dabartinės padėties ir jos perihelio, Saulė kampo viršūnėje.

Kai θ = 0°, perihelyje, atstumas yra mažiausias.

${\displaystyle r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$

Kai θ = 90° ir kai θ = 270°, atstumas yra ${\displaystyle \,p}$.

Kai θ = 180°, afelyje, atstumas yra didžiausias.

${\displaystyle r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$

Didysis pusašis a yra r_min ir r_maxaritmetinis vidurkis:

${\displaystyle \,r_{\max }-a=a-r_{\min }.}$

Mažasis pusašis b yra r_min ir r_maxgeometrinis vidurkis:

${\displaystyle {\frac {r_{\max }}{b}}={\frac {b}{r_{\min }}}.}$

p yra r_min ir r_maxharmoninis vidurkis:

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}.}$

Ekscentricitetas gali būti apskaičiuotas kaip

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}.}$

Antrasis Keplerio dėsnis: planetos spindulys-vektorius per lygius laiko tarpus apibrėžia lygius plotus.

Įrodymas:

Per mažą laiko tarpą ${\displaystyle dt\,}$ planeta nubrėš trikampį, kurio pagrindas ${\displaystyle vdt\,}$, o aukštis ${\displaystyle r\,}$.
Šio trikampio plotas ${\displaystyle dS={\frac {1}{2}}vrdt}$.
Tada planetos sektorinis greitis ${\displaystyle \sigma ={\frac {dS}{dt}}={\frac {1}{2}}vr.}$
Kadangi planetą traukia centrinis kūnas - Saulė, planetą veikiantis jėgos momentas lygus 0 - jėga ir jos petys yra tos pačios krypties. Taigi yra išsaugomas planetos judesio kiekio momentas ${\displaystyle L=mvr.}$

Vadinasi, ${\displaystyle \sigma ={\frac {L}{2m}}=const.}$

Trečiasis Keplerio dėsnis: planetų skriejimo aplink Saulę žvaigždinių periodų kvadratai proporcingi jų orbitų didžiųjų pusašių kubams.

${\displaystyle {\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}={\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}}$

čia ${\displaystyle a_{1}}$ ir ${\displaystyle a_{2}}$ - kosminių kūnų, skriejančių aplink centrinį kūną, orbitų didieji pusašiai, ${\displaystyle T_{1}}$ ir ${\displaystyle T_{2}}$ skriejimo aplink centrinius kūnus periodai.

Žinant centrinio kūno masę, periodą galima apskaičiuoti taip:
${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{GM}}},}$,
čia ${\displaystyle M}$ - centrinio kūno masė, ${\displaystyle G}$ - gravitacijos konstanta.

Apibendrintasis trečiasis Keplerio dėsnis (išvestas vėliau matematiškai, Izaoko Niutono) teigia:

${\displaystyle {\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}={\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}}$

čia ${\displaystyle a_{1}}$ ir ${\displaystyle a_{2}}$ - kosminių kūnų, skriejančių aplink tą patį centrinį kūną, orbitų didieji pusašiai, ${\displaystyle T_{1}}$ ir ${\displaystyle T_{2}}$ skriejimo aplink centrinius kūnus periodai, ${\displaystyle M}$ - centrinio kūno masė, ${\displaystyle m_{1}}$ ir ${\displaystyle m_{2}}$ - aplink jį skriejančių kūnų masės. Kadangi visoms Saulės sistemos planetoms galioja ${\displaystyle m_{1},m_{2}\ll M}$, galima neatsižvelgti į planetų mases išraiškoje (prilyginant jas nuliui), taip sugrįžtant prie pradinės trečiojo Keplerio dėsnio išraiškos.