Trigonometrija

Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkotangentas yra atvirkštinės funkcijos, atitinkamai, sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui. Taigi, jei sin 30° = 0,5, tai arcsin 0,5 = 30°

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {b}{c}}}$

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

${\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {a}{c}}}$

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {a}{c}}}$

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

${\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {b}{a}};\ \beta =\arctan {\frac {a}{b}}}$

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin⁻¹, cos⁻¹ ir tan⁻¹. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin⁻¹ (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\;}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}}$

${\displaystyle \cot A={\frac {\cos A}{\sin A}}}$

${\displaystyle \tan A\;\cot A=1}$

${\displaystyle 1+\tan ^{2}A={\frac {1}{\cos ^{2}A}}}$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}A={\frac {1}{\sin ^{2}A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A\pm B)&=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B\\\cos(A\pm B)&=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B\\\tan(A\pm B)&={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin A\pm \sin B&=2\cdot \sin \left({\frac {A\pm B}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {A\mp B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cdot \cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\cdot \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)&=2\cdot \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {B-A}{2}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \tan A\pm \tan B={\frac {\sin(A\pm B)}{\cos A\cos B}}}$

${\displaystyle \cot A\pm \cot B={\frac {\sin(B\pm A)}{\sin A\sin B}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(A)\cdot \cos(B)&={\frac {1}{2}}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\\\sin(A)\cdot \sin(B)&=-{\frac {1}{2}}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]\\\cos(A)\cdot \sin(B)&={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]\\\sin(A)\cdot \cos(B)&={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2A)&=2\sin A\cos A\\&={\frac {2\tan A}{1+\tan ^{2}A}}\\\cos(2A)&=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\\&=2\cos ^{2}A-1\\&=1-2\sin ^{2}A\\&={1-\tan ^{2}A \over 1+\tan ^{2}A}\\\tan(2A)&={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}\\&={\frac {2\cot A}{\cot ^{2}A-1}}\\&={\frac {2}{\cot A-\tan A}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sin ^{2p}(A)\cdot \cos ^{2q}(A)=\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos(2A)\right)^{p}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot \cos(2A)\right)^{q}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3A)=3\sin A-4\sin ^{3}A\\\cos(3A)=4\cos ^{3}A-3\cos A\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sin 4\alpha =8\cos ^{3}\alpha \sin \alpha -4\cos \alpha \sin \alpha ,}$

${\displaystyle \cos 4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1.}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha ).}$

${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(3\sin \alpha -\sin 3\alpha ),}$

${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(\cos 3\alpha +3\cos \alpha ).}$

${\displaystyle \sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8},}$

${\displaystyle \cos ^{4}A={\cos(4A)+4\cos(2A)+3 \over 8}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}\\\cos {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}\\\tan {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{1+\cos A}}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos A}{1-\cos A}}}={\frac {\sin A}{1-\cos A}}={\frac {1+\cos A}{\sin A}}}$

${\displaystyle \cos(A)=\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-\sin ^{2}{\frac {A}{2}},}$

${\displaystyle \cos(A)=\left(1-\sin ^{2}{\frac {A}{2}}\right)-\sin ^{2}{\frac {A}{2}}=1-2\sin ^{2}{\frac {A}{2}}\quad {\text{arba}}\quad \cos(A)=\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-\left(1-\cos ^{2}{\frac {A}{2}}\right)=2\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-1.}$

Iš čia

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1-\cos A}{2}},}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1+\cos A}{2}}.}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}\cdot 2\cos {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}\cdot 2\cos {\frac {A}{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {A}{2}}}{2\cos ^{2}{\frac {A}{2}}}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \cos(A)\cdot \cos(B)={\frac {1}{2}}[\cos(A+B)+\cos(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties turime

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B}$ ir

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.}$

Sudedame pirmą eilutę su antra

${\displaystyle \cos(A+B)+\cos(A-B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos A\cos B+\sin A\sin B=2\cos A\cos B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos(A+B)+\cos(A-B))=\cos A\cos B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \sin(A)\cdot \sin(B)=-{\frac {1}{2}}[\cos(A+B)-\cos(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B}$ ir

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.}$

Atimame antrą eilutę iš pirmos

${\displaystyle \cos(A+B)-\cos(A-B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B-(\cos A\cos B+\sin A\sin B)=-2\sin A\sin B,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}(\cos(A+B)-\cos(A-B))=\sin A\sin B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \sin(A)\cdot \cos(B)={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)+\sin(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B}$ ir

${\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.}$

Sudedame pirmą eilutę su antra

${\displaystyle \sin(A+B)+\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B+\sin A\cos B-\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\sin(A+B)+\sin(A-B))=\sin A\cos B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \cos(A)\cdot \sin(B)={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)-\sin(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.}$

Atimame antrą eilutę iš pirmos eilutės

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B-(\sin A\cos B-\cos A\sin B),}$

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B-\sin A\cos B+\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\sin(A+B)-\sin(A-B))=\cos A\sin B.}$