Realieji skaičiai

Realieji skaičiai – visi racionalieji ir iracionalieji skaičiai. Begalinėje skaičių tiesėje kiekvienas taškas atitinka realųjį skaičių. Realiųjų skaičių pavyzdžiai: 0, 2, −1/3, √2, ln 2, π ir skaičius e.

Geometrinė realiųjų skaičių interpretacija skaičių tiesėje.

Realiųjų skaičių aibė žymima $\mathbb {R}$ . $\mathbb {R} ^{n}$ žymi n-matę realiųjų skaičių erdvę.

Realusis skaičius vadinamas suskaičiuojamu, jei yra algoritmas, pagal kurį galima suskaičiuoti po kablelio esančius skaitmenis. Kadangi algoritmų aibė yra skaiti, o realiųjų skaičių aibė – neskaiti, dauguma realiųjų skaičių nėra suskaičiuojami.

Istorija

Apie 500 m. pr. m. e. pitagorininkai pastebėjo, kad kvadrato kraštinė ir įstrižainė yra nesuderinami, t. y., nėra tokios atkarpos, kuriai kraštinės ir įstrižainės ilgiai būtų natūralieji kartotiniai. Šiandieniniais terminais tai reiškia, kad nėra tokio racionalaus skaičiaus, kuris būtų kvadrato įstrižainės ir jo kraštinės ilgio santykis. Taip buvo parodytas skaičiaus iracionalumas.

Nuo seniausių laikų žinomas skaičius pi, kuris apibrėžiamas kaip apskritimo ilgio ir jo skersmens santykis taip pat pasirodė esąs iracionalusis skaičius, tai 1767 m. įrodė Johanas Lambertas. Kiekvienas atrastas iracionalumas kūrė spragą arba tarpą racionaliųjų skaičių aibėje. Realiųjų skaičių aibės įvedimas šiuos tarpus užpildo. Pirmoji sėkminga realiųjų skaičių konstrukcija laikoma Eudokso proporcijų teorija, aprašyta Euklido Pradmenyse. Nors pati pirmoji formalų realiųjų skaičių formuluotė buvo pasiūlyta vokiečių matematiko Ričardo Dedekindo, naudojant racionaliuosius skaičius ir Dedekindo pjūvį, aksiominį iracionaliųjų skaičių apibrėžimo metodą.

Savybės

Realiųjų skaičių savybės:

$a+b=b+a$ (sumos perstatymo dėsnis)
$a+(b+c)=(a+b)+c$ (sumos jungimo dėsnis)
$a\cdot b=b\cdot a$ (daugybos perstatymo dėsnis)
$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (daugybos jungimo dėsnis)
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (daugybos skirstymo dėsnis)
su bet kokiu skaičiumi $a$ teisingos lygybės $a+0=a,a\cdot 0=0,a\cdot 1=1=a$