Neapibrėžtinis integralas

Iš pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė ${\displaystyle \lbrace F(x)+C\;|\;C\in (-\infty ,+\infty )\rbrace }$ vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima:

${\displaystyle \int f(x){\mathsf {d}}x=F(x)+C.}$

Čia:

• ${\displaystyle x}$ - integravimo kintamasis;
• ${\displaystyle f(x)}$ – pointegralinė funkcija;
• ${\displaystyle dx}$ - integravimo kintamojo diferencialas;
• ${\displaystyle f(x)dx}$ – pointegralinis reiškinys;
• ${\displaystyle F(x)}$ – kuri nors funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ viena iš pirmykščių funkcijų;
• ${\displaystyle C}$ – integravimo konstanta.

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

Neapibrėžtinį integralą 1694 m. apibrėžė G. V. Leibnicas pirmą kartą panaudojęs laisvąją konstantą C.

Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:

1. ${\displaystyle \left(\int f(x){\mathsf {d}}x\right)'=f(x);}$
2. ${\displaystyle {\mathsf {d}}\int f(x){\mathsf {d}}x=f(x){\mathsf {d}}x;}$
3. ${\displaystyle \int {\mathsf {d}}F(x)=F(x)+C;}$
4. ${\displaystyle \int (f(x)+g(x)){\mathsf {d}}x=\int f(x){\mathsf {d}}x+\int g(x){\mathsf {d}}x.}$

• ${\displaystyle \int 0\cdot dx=C}$
• ${\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C}$
• ${\displaystyle \int x^{m}\;dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\;dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\;dx=e^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sin x\;dx=-\cos x+C}$
• ${\displaystyle \int \cos x\;dx=\sin x+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-x^{2}}}={\frac {1}{2}}\ln |{\frac {1+x}{1-x}}|+C}$

${\displaystyle \int 2x\;{\mathsf {d}}x=2\int x\;{\mathsf {d}}x=2{\frac {x^{1+1}}{1+1}}+C=x^{2}+C}$, nes ${\displaystyle \left(x^{2}+C\right)'=2x+0=2x}$.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):

• ${\displaystyle \int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x^{2}-9}}={\frac {1}{6}}\ln {\frac {x-3}{x+3}}+C.}$

• ${\displaystyle \int {\frac {\cos x\;{\mathsf {d}}x}{\sqrt {2+\cos 2x}}}=\int {\cos x\;dx \over {\sqrt {2+1-2\sin ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {d({\sqrt {2}}\sin x) \over {\sqrt {3-2\sin ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\arcsin {\frac {{\sqrt {2}}\sin x}{\sqrt {3}}}+C.}$
• ${\displaystyle \int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\sqrt {{\left(9-x^{2}\right)}^{3}}}}={\frac {x}{9{\sqrt {9-x^{2}}}}}+C.}$

• Apibrėžtinis integralas
• Integralų lentelė
• Integravimo metodai
• Integravimas keičiant kintamąjį
• integravimas dalimis
• Racionaliųjų funkcijų integravimas
• Iracionaliųjų funkcijų integravimas
• Trigonometrinių funkcijų integravimas