Natūrinis logaritmas

Natūrinis logaritmas – logaritmas, kurio pagrindas yra iracionalusis skaičius e, kurio apytikslė reikšmė yra ${\displaystyle 2,718281828459}$. Žymima log_e(x) arba tiesiog ln(a).

Skaičiaus x natūrinis logaritmas yra laipsnio rodiklis (eksponentė) y: e^y = x.

${\displaystyle \ln x=y\iff e^{y}=x}$

Pavyzdžiui:

• Skaičiaus e⁵ natūrinis logaritmas yra 5,
• Skaičiaus e natūrinis logaritmas yra 1, nes e¹ = e,
• Skaičiaus 1 natūrinis logaritmas yra 0, nes e⁰ = 1.

Natūrinis logaritmas yra eksponentinės funkcijos atvirkštinė funkcija.

Natūrinis logaritmas apibrėžiamas visiems teigiamiems realiesiems skaičiams x ir taip pat gali būti apibrėžiamas nenuliniams kompleksiniams skaičiams. Kartais ši funkcija vadinama Neperio logaritmu, nes pirmasis ją panaudojo Džonas Neperis.

Formaliai ln(a) gali būti apibrėžta kaip 1/x funkcijos grafiko ribojamas plotas (integralas) intervale nuo 1 iki a:

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

• ${\displaystyle \ln(1)=0}$
• ${\displaystyle \ln(e)=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad {\text{kai}}\quad x>0,y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {kai}}\quad y>x>0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\quad {\text{kai}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {kai}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {kai}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$