Šredingerio lygtis

Šrėdingerio lygtis – lygtis, aprašanti nereliatyvistinės kvantinės sistemos evoliuciją laiko atžvilgiu. Šią lygtį 1926 m. pasiūlė austrų fizikas Ervinas Šrėdingeris. Bendru atveju ji užrašoma taip:

i\hbar {\partial \over \partial t}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle

E. Šrėdingeris 1926 metų straipsnyje lygtį užrašė su konkrečia hamiltoniano išraiška: $i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi =-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \Psi +U(x,y,z)\Psi$

Čia ${\hat {H}}$ yra dalelės hamiltonianas, t. y. energijos operatorius, o $\Psi$ – dalelės banginė funkcija, $\vert \Psi (t)\rangle$ – būsenos vektorius, $U(x,y,z)$ – potencinė energija, $m$ – dalelės masė, $\hbar$ – mažoji planko konstanta, i – menamasis vienetas. Lygtis sprendžiama banginės funkcijos atžvilgiu, radus ją galime pilnai aprašyti nagrinėjamą dalelę. Būtent dėl to ši lygtis kartais vadinama antrojo Niutono dėsnio analogu kvantiniame pasaulyje. Šrėdingerio lygtis yra vienas iš kvantinės mechanikos postulatų – ją galima užrašyti tik pasirėmus įvairiais samprotavimais apie banginę dalelių prigimtį, griežto jos išvedimo nėra.

Bendroji Šrėdingerio lygtis

Nereliatyvistinėje kvantinėje mechanikoje hamiltonianas yra tiesiog kinetinės ir potencinės energijų suma. Tokiu atveju Šrėdingerio lygtis atrodo taip:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}},t)\right]\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ({\vec {r}},t)=E\psi ({\vec {r}},t)

Čia $\nabla ^{2}$ yra laplasianas, o $U({\vec {r}},t)$ – sistemos potencinė energija. Kaip matyti, ši lygtis yra antrojo laipsnio dalinių išvestinių diferencialinė lygtis, taigi ją išspręsti analize pasiseka tik labai paprastais atvejais, pvz., vandenilio atomas laisvoje erdvėje. Reliatyvistinėje kvantinėje mechanikoje energijos operatorius pakeičiamas reliatyvistinės energijos išraiška ir taip gaunama vadinamoji Dirako lygtis. Ši lygtis jau įskaito dalelės sukinį.

Stacionarioji Šrėdingerio lygtis

Jei nagrinėjama sistema yra stacionari, t. y. sistemos hamiltonianas išreikštai nepriklauso nuo laiko $t$ , galime ieškoti bendrosios Šrėdingerio lygties sprendinio, kaip laikinės ir koordinatinės priklausomybės funkcijų sandaugos:

\psi ({\vec {r}},t)=\Phi ({\vec {r}})A(t)

Iš čia gauname tikrinių verčių lygtį funkcijai $\Phi ({\vec {r}})$ :

{\hat {H}}\Phi ({\vec {r}})=E\Phi ({\vec {r}})

,

bei $A(t)$ sprendinį, su kuriuo banginė funkcija atrodo taip:

\psi ({\vec {r}},t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}\Phi ({\vec {r}})

.

Čia $E$ yra hamiltoniano tikrinė vertė – dalelės energija. Kai sistema yra apribota, pvz., elektronas atomo branduolio lauke, tikrinių verčių spektras yra diskretinis, t. y. gauname lygmenų kvantavimą. Taip paaiškinamas diskretus vandenilio atomo spektras.

Įrodysime, kad $\Psi (x,t)=e^{i(px-Et)}$ yra šredingerio lygites $i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}$ sprendinys. Kur $p=mv$ yra momentas, E – energija, m – masė, i – menamasis vienetas.

i{\frac {\partial (e^{i(px-Et)})}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\partial ^{2}(e^{i(px-Et)})}{\partial x^{2}}};

i\cdot (-iE)e^{i(px-Et)}=-{\frac {(ip)^{2}}{2m}}e^{i(px-Et)};

E={\frac {p^{2}}{2m}}={(mv)^{2} \over 2m}={mv^{2} \over 2}.

Gavome kinetinės energijos formulę, kuri įrodo, kad Šrėdingerio lygtis išspresta teisingai. x yra koordinatė vienmatėje erdvėje (nejudanti), o t yra laikas ir taip kvantinė dalelė aprašoma bangine funkcija.

Taip pat skaitykite

Operatoriai kvantinėje mechanikoje
Hamiltonianas
Vandeniliškasis atomas